Я делал временную регистрацию по месту съема квартиры, у хозяев.
Если адекватный и живешь более полугода хозяева обычно не против.

В некоторых больницах делают запросы в местные диспансеры, то есть в сам диспансер приезжать не надо. В рамках Москвы это работает где-то на островитянова в больнице (друг делал), но может они запрос и в кемеровскую область смогут отправить

Временную регистрацию сделай. В мск редко кто делает за просто так, обычно это стоит около 7 тыс. на 3 месяца.

Временную регистрацию сделать не проблема, я думаю. Хозяина квартиры это ничем не обязывает. Может коллега с работы «приютит».
А мне даже с регистрацией отказали. Зарегистрирован на тот момент я был около 3 месяцев. Сказали что надо с предыдущего места регистрации, если там прожил более 5 лет что ли. Как-то так. Так что регистрация возможно и не поможет

Сам делал справку в августе 2015. Ездил по месту прописки — 80 км. -)) Заодно и узнавал там о запросах, если в следующий раз, чтобы не ездить. Запрос делается только от диспансера к диспансеру. Медкомиссия запрос к диспансеру по месту прописки делать не может. Т.е. в твоем случае — надо сделать временную регистрацию, идти в тот диспансер, который обслуживает адрес регистрации, и они уже делают запрос в Кемерово. По срокам — ок. 30 дней в одну сторону верхняя планка. Т.е. — 60 дней максимум. Если почта сработает быстро, и сотрудники диспансеров оперативно все выпишут, то можно и в месяц уложиться.

Насчет временной регистрации, раньше было проще, одна юр.компания (мил… са) оказывала такие пусть и не совсем законные услуги по оформлению легальной регистрации, сами искали у кого и сами же у себя оформляли, но она закрылась.
Сейчас проще всего — дать объявление о помощи в группы вк аля «подслушано» любого района и тд. Найдутся люди которые оформят за деньги у себя.

Был в похожей ситуации: живу в Сочи, прописан в Твери.
Пришёл в сочинский диспансер, взял бланк запроса. Заполнил бланк, отправил факсом в тверской диспансер. Через неделю пришёл получать справку, ответ тверского диспансера уже был у врача на руках.

Вот только позавчера супруга получила заветную справку по временной регистрации. Гемора, конечно порядком, но ничего невозможного нет. Психов посещала во месту регистрации в Коломенском.
Вкратце инструкция такова:
Справка нарколога
1) Ищем диспансер по месту временной регистрации
2) приходим туда и сдаем анализы (800р)
3) забираем справку
Справка психиатра
1) Ищем диспансер по месту временной регистрации
2) приходим туда и делаем ЭКГ или что-то в этом роде на голову ) (стоит вроде около 1000)
3) идем в этот же диспансер к психологу на прием, делаем там тесты всякие, получаем от него одобрение (в идеале ;) )
4) идем в регистратуру и просим бланк запроса в диспансер по месту прописки (ДОЛЖНЫ дать)
5) заполняем его сами
6) отправляем его сами в диспансер по месту прописки
7) просим свой диспансер по месту прописки отправить факсом в диспансер по месту временной регистрации (в нашем случае отправили в тот же день)
8) долбим диспансер по месту временной регистрации вопросом о получении ответа (в нашем случае успеха не имело)
9) звоним в диспансер по месту прописки и просим отправить электронкой скан запроса с отметкой о том, что вы не состоите у них на учете
10) печатаем скан и несем ножками в диспансер по месту временной регистрации.
11) получаем справку.
Сразу говорю, что п. 10 может и не везде получится, но вот конкретно в диспансере, который отвечает за Коломенское, Царицыно и т.д. из тех же краёв, это получилось.