Как я понял, что как раз на учете он и не стоит, так что ездить так нельзя.
По факту, вроде как за технику не стоящую на учете транспортный налог не платится. Так как ты на ней не ездишь. Да и сведения по технике подает в налоговую ГИБДД, а если мот не стоит на учете, то и сведений никаких нет.
Если были какие то долги по налогу, то вроде как в 2009 году была амнистия и все, не уплаченное до этого просто простили.

А по поводу постановки на учет, делай договор купли продажи или договор дарения и с ним в ГИБДД, а там тебе уже скажут что делать. Скорее всего заменят ПТС и поставят на учет без проблем. Либо попросят поменять ПТС до продажи, то есть старым собственником, точно не могу сказать.

А самое верное будет, если нет желания сразу ехать в ГИБДД, то идешь на их сайт и пишешь запрос, где излагаешь всю суть своей проблемы. И через неделю может немного больше, получаешь развернутый ответ. Желательно, кстати не указывать там свой телефон ))) потому что тогда тебе просто позвонит сотрудник и поговорит с тобой по телефону и все тебе разъяснит, тогда у тебя не будет бумажки с ответом, которой ты в случае возникновения проблем при постановке на учет сможешь тыкать сотрудникам и требовать, чтоб сделали все как надо. Ответ лучше получить либо по почте либо по электронке.

Неоплаченный налог — дело налоговой, гибдд туда не лезет.
Номер двигателя сейчас не смотрят.

Могу ошибиться, но номера и птс «старого» образца до сих пор являются действующими. Т.е. если номерные знаки читаемы — можешь смело ездить. Имхо, так даже олдскульнее!