в самом ГАИ эвакуатор предъявлять не надо?

Не надо. Ты вполне законно мог дотолкать мот до ГАИ вручную.

заодно оплатить штраф за пропуск срока постановки

Часто спрашивают, почему просрочен срок. Я в последний раз ответил, что мот был в ремонте разобранным, никакого штрафа мне не выписали.

Покупать ТО не хочу, мот в хорошем состоянии, хоть и надо проводку слегка подшам
анить и стартер перетрясти.

Если сильно захотеть, страховку можно сделать и без ТО.

Разве ТО теперь не страховщики делают? Им то разницы вроде нет как ты мот доставишь на ТО. Я полагаю что можно да гаевни доехать, а по территории катать.

Три способа:
1) Официальный. Едешь на прицепе / басе / эвакуаторе, делаешь ТО. Там же получаешь страховку (ТО станции почти всегда продают страховку. Потом на прицепе едешь в ГАИ.
2) Удобный: Заказываешь ТО со страховкой с доставкой на дом… Приезжает «страховой агент», и сам со всем разбирается. Сервисов таких дофига. Они не совсем официальные, но гуглятся на ура. Стоить будет дешевле чем прицеп (если у тебя конечно своего нет). Потом своим ходом едешь ставиться на учет.
3) Пофигистичный: Со словами «авось пронесет своим ходом едешь на ТО, а потом в ГАИ :)

30 августа прошлого года ставился на учет. Воспользовался способом №3 =)из ответа Flashback
Аккуратно доехал до станции ТО, там же и купил полис ОСАГО. После чего с чистой совестью покатил ставиться на учет)

Для постановки на учет мне нужна страховка, кажется так?

Да

А для страховки кажется нужно ТО, ну то есть диагностичская карта?

Да

Без страховки и регистрации своим ходом нельзя, только на эвакуаторе?

Можно сделать страховку для следования к месту прохождения ТО/постановки на учет и спокойно ехать. Но для постановки на учет все равно потребуется полноценная страховка.

Ну, допустим, по дороге от гаража до ГАИ у нас обычно двухколесных гайцы не останавливают, если ты в шлеме, но в самом ГАИ эвакуатор предъявлять не надо?

Пофиг абсолютно. Приезжал и своим ходом летом, и эвакуатором в декабре.

И вообще, что проверяют для получения диагностической карты?

В прошлом году дважды делал ТО. Оба раза смотрели на работу гудка/фары/поворотников/стопсигнала (проверяли оба тормоза). Один раз просили завести. Могут посмотреть на глубину протектора, но скорее ограничатся вопросом о марке резины.

У меня было так — нужно было получить диаг. карту, потом страховку, потом в гаи. Было жуть как страшно, но я решился — выехал в пол шестого утра — доехал до станции техосмотра, потом 3 часа ждал открытия )) Это была моя по сути первая поездка на мотоцикле в жизни по дорогам, не мог уснуть перед сим важным событием даже ) Получив диаг. карту, я окрыленный успехом, аккуратно доехал до гаража, посылая хвалы Господу, что по пути не встретил гайцев ) Ну а дальше уже дело техники — купил страховку, и опять в 5 утра поехал в гаи — ставится на учет. Так рано решил ехать, т.к. это была уже аж 3 поездка в моей мотокарьере ) в это время мало машин, и заодно невелик шанс нарваться на патруль (страховка у меня была, но 10 дней по дате договора купли-продажи давно были просрочены, а это тоже штраф за отсутствие номера). В тот же день я осчастливненный полученными номерами доехал до гаража, и можно сказать с того момента и началось настоящая практика езды — все документы были оформлены и можно было кататься не боясь никого!