Законом не установлена Ваша обязанность иметь при себе документы на право собственности на имеющееся при себе имущество, за исключением тех случаев, когда данное имущество подлежит госрегистрации (пример — мотоцикл, автомобиль, оружие). Другое дело, что полицейские (причём не только из ГИБДД) имеют право попросить Вас предъявить документ на право собственности, если у них возникает в отношении Вас подозрение в совершении преступления (а вот регламент возникновения подозрений не прописан, поэтому право заподозрить Вас и проверить у полицейских есть)
На практике это может вылиться в штрафстоянку или в доставку до околотка, куда Вас попросят подвезти документ о праве собственности и разрешат забрать мопедку.
Вывод: хотите бодаться — можете не возить ничего с собой. Будете каждому любопытному ГАИшнику доказывать, что не верблюд. Не хотите бодаться — заключите договор купли-продажи с соседом (сосед в качестве продавца), указав номер шасси и другие реквизиты мопеда в нём, распечатайте в 10 экземплярах, подпишите и возите с собой один, пока не истреплется, затем следующий возите.

Вожу с собой ДКП с магазином, где покупал своего такта. Хотя за 9 лет ни разу не тормозили. Точнее пытались один раз, но мы смогли укатить от тела с палкой.
Тоже возникали вопросы по этому поводу. Спасибо что разъяснили!

Четыре года вожу с собой ДКП, он у меня с магазином, не рукописный и с печатью. Спрашивали только один раз и то как лишнее подтверждение 50 кубов. Даже когда дважды выписывали штраф, ДКП не спрашивали. Возможно просто вид мой не тянет на шального школьника, стянувшего табуретку в соседнем дворе.

из опыта владения своим 50cc — ездил с паспортом и договором купли-продажи. Договор — подтверждение права собственности, паспорт — подтверждение того что собственник это я.